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§5行列式的性质
转置行列式
记
行列式DT称为行列式D的转置行列式
性质1
行列式D与它的转置行列式DT相等
证
记Ddet(aij)的转置行列式
则bijaji
(i
j1
2
n)
按定义
而由定理2
有
故DTD
由此性质可知
行列式中的行与列具有同等的地位
行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立
反之亦然
性质2
互换行列式的两行
行列式变号
证
设行列式
是由行列式Ddet(aij)对换i
j两行得到的
即bkpakp(ki
j)
bipajp
bjpaip(p1
2
n)
于是
其中1
i
j
n为标准排列
t为排列p1
pi
pj
pn的逆序数
设排列
p1
pj
pi
pn的逆序数为t1
则
故
以r
i表示行列式的第i行
以c
i表示第i列
交换i
j两行记作rirj
交换i
j两列记作cicj
推论1
如果行列式有两行(列)完全相同
则此行列式等于零
证
把这两行互换
有DD
故D0
性质3
行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数k
等于用数k乘此行列式
即
第i行(或列)乘以k
记作rik(或cik)
推论
行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面
第i行(或列)提出公因子k
记作rik(或cik)
性质4
行列式中如果有两行(列)元素成比例
则行列式等于零
性质5
若行列式的某一行(列)的元素都是两个数之和
例如第i行的元素都是两数之和
则D等于下列两个行列式之和
性质6
把行列式的某一行(列)的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去
行列式不变
即
以数k乘第j行加到第i行上
记作rikrj
推论
行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零
即
ai1Aj1ai2Aj2
ainAjn
0
(ij)
或
a1iA1ja2iA2j
aniAnj0
(ij)
证明
因为
所以
aj1Aj1aj2Aj2
ajnAjn(aj1ai1)Aj1(aj2ai2)Aj2
(ajnain)Ajn
移项化简得
ai1Aj1
ai2Aj2
ainAjn0
综合结果
或
相关结果
行列式的本质是什么啊？
1、标准方法是在已给行列式的右边添加已给行列式的第一列、第二列。我们把行列式的左上角到右下角的对角线称为主对角线，把右上角到左下角的对角线称为次对角线。
这时，三阶行列式的值等于主对角线的三个数的积与和主对角线平行的对角线上的三个数的积的和减去次对角线的三个数的积与和次对角线平行的对角线上三个数的积的和的差。
2、行列式某元素的余子式：行列式划去该元素所在的行与列的各元素,剩下的元素按原样排列,得到的新行列式.
3、行列式某元素的代数余子式：行列式某元素的余子式与该元素对应的正负符号的乘积.
4、三阶行列式运算：即行列式可以按某一行或某一列展开成元素与其对应的代数余子式的乘积之和
行列式的定义计算方法是由排成n阶方阵形式的n?个数aij（i，j=1，2，...n）确定的一个数，其值为n项之和，利用行列式的性质计算。
行列式依列展开是计算行列式的一种方法，设a1j，a2j，…，anj (1≤j≤n)为n阶行列式D=|aij|的任意一列中的元素。
而A1j，A2j，…，Anj分别为它们在D中的代数余子式，则D=a1jA1j+a2jA2j+…+anjAnj称为行列式D的依列展开。
行列式的计算利用的是行列式的性质，而行列式的本质是一个数字，所以行列式的变化都是建立在已有性质的基础上的等量变化，改变的是行列式的“外观”。
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